6.Колебания

6.1.Основные понятия и законы

положения равновесия), ω 0 - круговая частота гармонических колебаний, ω 0 t + α - фаза, α - начальная фаза (при t = 0).

Система, совершающая гармонические колебания, называется

классическим гармоническим осциллятором или колебательной

откуда следует, что при гармонических колебаниях ускорение прямо пропорционально смещению точки от положения равновесия и направлено противоположно смещению.

Из уравнений (6,6), (6,7) получим

Уравнение (6.8) называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний, а (6.4) является его решением. Подставив

(6.7) во второй закон Ньютона F = ma r , получим силу, под действием которой происходят гармонические колебания

Эта сила, прямо пропорциональная смещению точки от положения равновесия и направленная противоположно смещению, называется возвращающей силой, k называется коэффициентом возвращающей силы . Таким свойством обладает сила упругости . Силы другой физической природы, подчиняющиеся закону (6.11),

называются квазиупругими.

Колебания, происходящие под действием сил, обладающих

При гармонических колебаниях по закону (6.4) зависимости кинетической и потенциальной энергии от времени имеют вид

Полная энергия в процессе гармонических колебаний сохраняется

представить в виде проекции на оси координат вектора, величина которого равна амплитуде A , вращающегося вокруг начала координат с угловой скоростью ω 0 . На этом представлении основан метод

Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях

x = A 1 sin ((ω t + ϕ 1 ) ) , (6.20) y = A 2 sin ω t + ϕ 2

имеет вид

Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид (см. формулу (4.18))

M = I ε , (6.23)

где I - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку О , ε - угловое ускорение.

Из (6.23), (6.22) получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний физического маятника

Из (6.3) получим формулу периода колебаний физического маятника

где ϕ - угловое смещение от положения равновесия, ϕ 0 – амплитуда

колебаний.

Сравнив уравнения (6.8) и (6.32), получим значения угловой частоты и периода крутильных колебаний

Свободные колебания становятся затухающими из-за наличия сил сопротивления. Например, когда материальная точка колеблется в вязкой среде, при малых скоростях на нее действует сила

Угловая частота выражается в радианах в секунду , её размерность обратна размерности времени (радианы безразмерны). Угловая частота является производной по времени от фазы колебания:

Угловая частота в радианах в секунду выражается через частоту f (выражаемую в оборотах в секунду или колебаниях в секунду), как

В случае использования в качестве единицы угловой частоты градусов в секунду связь с обычной частотой будет следующей:

Наконец, при использовании оборотов в секунду угловая частота совпадает с частотой вращения:

Введение циклической частоты (в её основной размерности - радианах в секунду) позволяет упростить многие формулы в теоретической физике и электронике. Так, резонансная циклическая частота колебательного LC-контура равна тогда как обычная резонансная частота . В то же время ряд других формул усложняется. Решающим соображением в пользу циклической частоты стало то, что множители и , появляющиеся во многих формулах при использовании радианов для измерения углов и фаз, исчезают при введении циклической частоты.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

• Циклитирас Константинос
• Циклическая последовательность

Смотреть что такое "Циклическая частота" в других словарях:

циклическая частота - kampinis dažnis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. angular frequency; cyclic frequency; radian frequency vok. Kreisfrequenz, f; Winkelfrequenz, f rus. круговая частота, f; угловая частота, f; циклическая частота, f pranc. fréquence… … Fizikos terminų žodynas

ЦИКЛИЧЕСКАЯ ЧАСТОТА - то же, что угловая частота … Большой энциклопедический политехнический словарь

Частота периодического процесса

Частота ядра - Частота физическая величина, характеристика периодического процесса, равная числу полных циклов, совершённых за единицу времени. Стандартные обозначения в формулах, или. Единицей частоты в Международной системе единиц (СИ) в общем случае… … Википедия

Частота - У этого термина существуют и другие значения, см. Частота (значения). Частота Единицы измерения СИ Гц Чaстота физическая в … Википедия

ЧАСТОТА - (1) количество повторений периодического явления за единицу времени; (2) Ч. боковая частота, большая или меньшая несущей частоты высокочастотного генератора, возникающая при (см.); (3) Ч. вращения величина, равная отношению числа оборотов… … Большая политехническая энциклопедия

циклическая инвентаризация Справочник технического переводчика

Частота - колебаний, количество полных периодов (циклов) колебательного процесса, протекающих в единицу времени. Единицей частоты является герц (Гц), соответствующий одному полному циклу в 1 с. Частота f=1/T, где T период колебаний, однако часто… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Циклическая инвентаризация (CYCLE COUNT) - Метод точной ревизии наличных складских запасов, когда запасы инвентаризуются периодически по циклическому графику, а не раз в год. Циклическая инвентаризация складских запасов обычно производится на регулярной основе (как правило, чаще для… … Словарь терминов по управленческому учету

Угловая частота - Размерность T −1 Единицы измерения … Википедия

Таким образом, полная энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды смещения. Это – одно из характерных свойств гармонических колебаний. Здесь постоянный коэффициент k в случае пружинного маятника означает жёсткость пружины, а для математического маятника k=mgH. В обоих случаях коэффициент k передаётся параметрами колебательной системы.

Полная энергия механической колебательной системы состоит из кинетической и потенциальной энергий и равна максимальному значению любой из этих двух составляющих:

Следовательно, полная энергия колебаний прямо пропорциональна квадрату амплитуды смещения или квадрату амплитуды скорости.

Из формулы:

можно определить амплитуду x m колебаний смещения:

Амплитуда смещения при свободных колебаниях прямо пропорциональна корню квадратному из энергии, сообщённой колебательной системе в начальный момент, когда систему выводили из состояния равновесия.

Кинематика механических свободных колебаний

1 Смещение, скорость, ускорение. Для нахождения кинематических характеристик (смещения, скорости и ускорения) свободных колебаний воспользуемся законом сохранения и превращения энергии, которой для идеальной механической колебательной системы записывается так:

Так как производная по времени φ " постоянна, то угол φ зависит от времени линейно:

Учитывая это можно записать:

x = x m sin ω 0 t, υ = x m ω 0 cos ω 0 t

Здесь величина

есть амплитуда изменения скорости:

υ = υ m cos ω 0 t

Зависимость мгновенного значения ускорения a от времени t мы найдём как производную скорости υ по времени:

a = υ " = - ω 0 υ m sin ω 0 t,

a = -a m sin ω 0 t

знак «-» в полученной формуле указывает на то, что знак проекции вектора ускорения на ось, вдоль которой происходят колебания, противоположен знаку смещения x.

Итак, мы видим, что при гармонических колебаниях не только смещение, но и скорость и ускорение изменяются синусоидально.

2 Циклическая частота колебаний. Величина ω 0 называется циклической частотой колебаний. Так как функция sin α имеет по аргументу α период 2π, а гармонические колебания имеют по времени период T, то

Всё на планете имеет свою частоту. Согласно одной из версий, она даже положена в основу нашего мира. Увы, теория весьма сложна, чтобы излагать её в рамках одной публикации, поэтому нами будет рассмотрена исключительно частота колебаний как самостоятельное действие. В рамках статьи будет дано определения этому физическому процессу, его единицам измерений и метрологической составляющей. И под конец будет рассмотрен пример важности в обычной жизни обыкновенного звука. Мы узнаем, что он собой представляет и какова его природа.

Что называют частотой колебаний?

Под этим подразумевают физическую величину, которая используется для характеристики периодического процесса, что равен количеству повторений или возникновений определённых событий за одну единицу времени. Этот показатель рассчитывается как отношение числа данных происшествий к промежутку времени, за который они были совершены. Собственная частота колебаний есть у каждого элемента мира. Тело, атом, дорожный мост, поезд, самолёт - все они совершают определённые движения, которые так называются. Пускай эти процессы не видны глазу, они есть. Единицами измерений, в которых считается частота колебаний, являются герцы. Своё название они получили в честь физика немецкого происхождения Генриха Герца.

Мгновенная частота

Периодический сигнал можно охарактеризовать мгновенной частотой, которая с точностью до коэффициента является скоростью изменения фазы. Его можно представить как сумму гармонических спектральных составляющих, обладающих своими постоянными колебаниями.

Циклическая частота колебаний

Её удобно применять в теоретической физике, особенно в разделе про электромагнетизм. Циклическая частота (её также называют радиальной, круговой, угловой) - это физическая величина, которая используется для обозначения интенсивности происхождения колебательного или вращательного движения. Первая выражается в оборотах или колебаниях на секунду. При вращательном движении частота равняется модулю вектора угловой скорости.

Выражение этого показателя осуществляется в радианах на одну секунду. Размерность циклической частоты является обратной времени. В числовом выражении она равняется числу колебаний или оборотов, что произошли за количество секунд 2π. Её введения для использования позволяет значительно упрощать различный спектр формул в электронике и теоретической физике. Самый популярный пример использования - это обсчёт резонансной циклической частоты колебательного LC-контура. Другие формулы могут значительно усложняться.

Частота дискретных событий

Под этой величиной подразумевают значение, что равно числу дискретных событий, которые происходят за одну единицу времени. В теории обычно используется показатель - секунда в минус первой степени. На практике, чтобы выразить частоту импульсов, обычно применяют герц.

Частота вращения

Под нею понимают физическую величину, которая равняется числу полных оборотов, что происходят за одну единицу времени. Здесь также применяется показатель - секунда в минус первой степени. Для обозначения сделанной работы могут использовать такие словосочетания, как оборот в минуту, час, день, месяц, год и другие.

Единицы измерения

В чём же измеряется частота колебаний? Если брать во внимание систему СИ, то здесь единица измерения - это герц. Первоначально она была введена международной электротехнической комиссией ещё в 1930 году. А 11-я генеральная конференция по весам и мерам в 1960-м закрепила употребление этого показателя как единицы СИ. Что было выдвинуто в качестве «идеала»? Им выступила частота, когда один цикл совершается за одну секунду.

Но что делать с производством? Для них были закреплены произвольные значения: килоцикл, мегацикл в секунду и так далее. Поэтому беря в руки устройство, которое работает с показателем в ГГц (как процессор компьютера), можете примерно представить, сколько действий оно совершает. Казалось бы, как медленно для человека тянется время. Но техника за тот же промежуток успевает выполнять миллионы и даже миллиарды операций в секунду. За один час компьютер делает уже столько действий, что большинство людей даже не смогут представить их в численном выражении.

Метрологические аспекты

Частота колебаний нашла своё применение даже в метрологии. Различные устройства имеют много функций:

1. Измеряют частоту импульсов. Они представлены электронно-счётными и конденсаторными типами.
2. Определяют частоту спектральных составляющих. Существуют гетеродинные и резонансные типы.
3. Производят анализ спектра.
4. Воспроизводят необходимую частоту с заданной точностью. При этом могут применяться различные меры: стандарты, синтезаторы, генераторы сигналов и другая техника этого направления.
5. Сравнивают показатели полученных колебаний, в этих целях используют компаратор или осциллограф.

Пример работы: звук

Всё выше написанное может быть довольно сложным для понимания, поскольку нами использовался сухой язык физики. Чтобы осознать приведённую информацию, можно привести пример. В нём всё будет детально расписано, основываясь на анализе случаев из современной жизни. Для этого рассмотрим самый известный пример колебаний - звук. Его свойства, а также особенности осуществления механических упругих колебаний в среде, находятся в прямой зависимости от частоты.

Человеческие органы слуха могут улавливать колебания, которые находятся в рамках от 20 Гц до 20 кГц. Причём с возрастом верхняя граница будет постепенно снижаться. Если частота колебаний звука упадёт ниже показателя в 20 Гц (что соответствует ми субконтроктавы), то будет создаваться инфразвук. Этот тип, который в большинстве случаев не слышен нам, люди всё же могут ощущать осязательно. При превышении границы в 20 килогерц генерируются колебания, которые называются ультразвуком. Если частота превысит 1 ГГц, то в этом случае мы будем иметь дело с гиперзвуком. Если рассматривать такой музыкальный инструмент, как фортепиано, то он может создавать колебания в диапазоне от 27,5 Гц до 4186 Гц. При этом следует учитывать, что музыкальный звук не состоит только из основной частоты - к нему ещё примешиваются обертоны, гармоники. Это всё вместе определяет тембр.

Заключение

Как вы имели возможность узнать, частота колебаний является чрезвычайно важной составляющей, которая позволяет функционировать нашему миру. Благодаря ей мы можем слышать, с её содействия работают компьютеры и осуществляется множество других полезных вещей. Но если частота колебаний превысит оптимальный предел, то могут начаться определённые разрушения. Так, если повлиять на процессор, чтобы его кристалл работал с вдвое большими показателями, то он быстро выйдет из строя.

Подобное можно привести и с человеческой жизнью, когда при высокой частотности у него лопнут барабанные перепонки. Также произойдут другие негативные изменения с телом, которые повлекут за собой определённые проблемы, вплоть до смертельного исхода. Причём из-за особенности физической природы этот процесс растянется на довольно длительный промежуток времени. Кстати, беря во внимание этот фактор, военные рассматривают новые возможности для разработки вооружения будущего.

Является герц (русское обозначение: Гц ; международное: Hz ), названный в честь немецкого физика Генриха Герца .

Частота обратно пропорциональна периоду колебаний : ν = 1/T .

В природе известны периодические процессы с частотами от ~10 −16 Гц (частота обращения Солнца вокруг центра Галактики) до ~10 35 Гц (частота колебаний поля, характерная для наиболее высокоэнергичных космических лучей).

Видео по теме

Круговая частота

В случае использования в качестве единицы угловой частоты градусов в секунду связь с обычной частотой будет следующей: ω = 360°ν .

Численно круговая частота равна числу колебаний (оборотов) за 2π секунд. Введение круговой частоты (в её основной размерности - радианах в секунду) позволяет упростить многие формулы в теоретической физике и электронике. Так, резонансная круговая частота колебательного LC-контура равна ω L C = 1 / L C , {\displaystyle \omega _{LC}=1/{\sqrt {LC}},} тогда как циклическая резонансная частота ν L C = 1 / (2 π L C) . {\displaystyle \nu _{LC}=1/(2\pi {\sqrt {LC}}).} В то же время ряд других формул усложняется. Решающим соображением в пользу круговой частоты стало то, что множители 2 π {\displaystyle 2\pi } и 1 / 2 π {\displaystyle 1/2\pi } , появляющиеся во многих формулах при использовании радианов для измерения углов и фаз, исчезают при введении круговой (угловой) частоты.

В механике при рассмотрении вращательного движения аналогом круговой частоты служит угловая скорость .

Частота дискретных событий

Частота дискретных событий (например, частота следования импульсов) - физическая величина, равная числу дискретных событий, происходящих за единицу времени. Единица частоты дискретных событий - секунда в минус первой степени (русское обозначение: с −1 ; международное: s −1 ). Частота 1 с −1 равна такой частоте дискретных событий, при которой за время 1 с происходит одно событие .

Частота вращения

Частота вращения - это физическая величина, равная числу полных оборотов за единицу времени. Единица частоты вращения - секунда в минус первой степени (с −1 , s −1 ), оборот в секунду. Часто используются такие единицы, как оборот в минуту, оборот в час и т. д.

Другие величины, связанные с частотой

Единицы измерения

В системе СИ единицей измерения циклической частоты является герц (Гц, Hz). Единица была первоначально введена в 1930 году Международной электротехнической комиссией , а в 1960 году принята для общего употребления 11-й Генеральной конференцией по мерам и весам , как единица СИ. До этого в качестве единицы циклической частоты использовался цикл в секунду (1 цикл в секунду = 1 Гц ) и производные (килоцикл в секунду, мегацикл в секунду, киломегацикл в секунду, равные соответственно килогерцу, мегагерцу и гигагерцу).

Метрологические аспекты

Для измерения частоты применяются частотомеры разных видов, в том числе: для измерения частоты следования импульсов - электронно-счётные и конденсаторные, для определения частот спектральных составляющих - резонансные и гетеродинные частотомеры, а также анализаторы спектра . Для воспроизведения частоты с заданной точностью используют различные меры - стандарты частоты (высокая точность), синтезаторы частот , генераторы сигналов и др. Сравнивают частоты компаратором частоты или с помощью осциллографа по фигурам Лиссажу .

Эталоны

Для поверки средств измерения частоты используются национальные эталоны частоты. В России к национальным эталонам частоты относятся:

• Государственный первичный эталон единиц времени, частоты и национальной шкалы времени ГЭТ 1-98 - находится во ВНИИФТРИ .
• Вторичный эталон единицы времени и частоты ВЭТ 1-10-82 - находится в СНИИМ (Новосибирск).

Вычисления

Вычисление частоты повторяющегося события осуществляется посредством учета количества появлений этого события в течение заданного периода времени . Полученное количество делится на продолжительность соответствующего временного отрезка. К примеру, если на протяжении 15 секунд произошло 71 однородное событие, то частота составит

Если полученное количество отсчетов невелико, то более точным приемом является измерение временного интервала для заданного числа появлений рассматриваемого события, а не нахождение количества событий в пределах заданного промежутка времени . Использование последнего метода вводит между нулевым и первым отсчетом случайную ошибку, составляющую в среднем половину отсчета; это может приводить к появлению средней ошибки в вычисляемой частоте Δν = 1/(2 T m ) , или же относительной погрешности Δν /ν = 1/(2v T m ) , где T m - временной интервал, а ν - измеряемая частота. Ошибка убывает по мере возрастания частоты, поэтому данная проблема является наиболее существенной для низких частот, где количество отсчетов N мало.

Методы измерения

Стробоскопический метод

Использование специального прибора - стробоскопа - является одним из исторически ранних методов измерения частоты вращения или вибрации различных объектов. В процессе измерения задействуется стробоскопический источник света (как правило, яркая лампа, периодически дающая короткие световые вспышки), частота работы которого подстраивается при помощи предварительно откалиброванной хронирующей цепи. Источник света направляется на вращающийся объект, а затем частота вспышек постепенно изменяется. Когда частота вспышек уравнивается с частотой вращения или вибрации объекта, последний успевает совершить полный колебательный цикл и вернуться в изначальное положение в промежутке между двумя вспышками, так что при освещении стробоскопической лампой этот объект будет казаться неподвижным. У данного метода, впрочем, есть недостаток: если частота вращения объекта (x ) не равна частоте строба (y ), но пропорциональна ей с целочисленным коэффициентом (2x , 3x и т. п.), то объект при освещении все равно будет выглядеть неподвижным.

Стробоскопический метод используется также для точной настройки частоты вращения (колебаний). В этом случае частота вспышек фиксирована, а изменяется частота периодического движения объекта до тех пор, пока он не начинает казаться неподвижным.

Метод биений

Близким к стробоскопическому методу является метод биений . Он основан на том, что при смешивании колебаний двух частот (опорной ν и измеряемой ν" 1 ) в нелинейной цепи в спектре колебаний появляется также разностная частота Δν = | ν − ν" 1 |, называемая частотой биений (при линейном сложении колебаний эта частота является частотой огибающей суммарного колебания). Метод применим, когда более предпочтительным является измерение низкочастотных колебаний с частотой Δf . В радиотехнике этот метод также известен под названием гетеродинного метода измерения частоты. В частности, метод биений используется для точной настройки музыкальных инструментов. В этом случае звуковые колебания фиксированной частоты (например, от камертона), прослушиваемые одновременно со звуком настраиваемого инструмента, создают периодическое усиление и ослабление суммарного звучания. При точной настройке инструмента частота этих биений стремится к нулю.

Применение частотомера

Высокие частоты обычно измеряются при помощи частотомера . Это электронный прибор , который оценивает частоту определенного повторяющегося сигнала и отображает результат на цифровом дисплее или аналоговом индикаторе. Дискретные логические элементы цифрового частотомера позволяют учитывать количество периодов колебаний сигнала в пределах заданного промежутка времени, отсчитываемого по эталонным кварцевым часам . Периодические процессы, которые не являются по своей природе электрическими (такие, к примеру, как вращение оси , механические вибрации или звуковые волны), могут быть переведены в периодический электрический сигнал при помощи измерительного преобразователя и в таком виде поданы на вход частотомера. В настоящее время приборы этого типа способны охватывать диапазон вплоть до 100 Гц; этот показатель представляет собой практический потолок для методов прямого подсчёта. Более высокие частоты измеряются уже непрямыми методами.

Непрямые методы измерения

Вне пределов диапазона, доступного частотомерам, частоты электромагнитных сигналов нередко оцениваются опосредованно, с помощью гетеродинов (то есть частотных преобразователей). Опорный сигнал заранее известной частоты объединяется в нелинейном смесителе (таком, к примеру, как диод) с сигналом, частоту которого необходимо установить; в результате формируется гетеродинный сигнал, или - альтернативно - биения , порождаемые частотными различиями двух исходных сигналов. Если последние достаточно близки друг к другу по своим частотным характеристикам, то гетеродинный сигнал оказывается достаточно мал, чтобы его можно было измерить тем же частотомером. Соответственно, в результате этого процесса оценивается лишь отличие неизвестной частоты от опорной, каковую следует определять уже иными методами. Для охвата ещё более высоких частот могут быть задействованы несколько стадий смешивания. В настоящее время ведутся исследования, нацеленные на расширение этого метода в направлении инфракрасных и видимо-световых частот (т. н. оптическое гетеродинное детектирование).

Примеры

Электромагнитное излучение

Полный спектр электромагнитного излучения с выделенной видимой частью

Видимый свет представляет собой электромагнитные волны , состоящие из осциллирующих электрических и магнитных полей, перемещающихся в пространстве. Частота волны определяет её цвет: 4×10 14 Гц - красный цвет , 8×10 14 Гц - фиолетовый цвет ; между ними в диапазоне (4...8)×10 14 Гц лежат все остальные цвета радуги. Электромагнитные волны, имеющие частоту менее 4×10 14 Гц , невидимы для человеческого глаза, такие волны называются инфракрасным (ИК) излучением . Ниже по спектру лежит микроволновое излучение и радиоволны . Свет с частотой выше, чем 8×10 14 Гц , также невидим для человеческого глаза; такие электромагнитные волны называются ультрафиолетовым (УФ) излучением . При увеличении частоты электромагнитная волна переходит в область спектра, где расположено рентгеновское излучение , а при ещё более высоких частотах - в область гамма-излучения .

Все эти волны, от самых низких частот радиоволн и до высоких частот гамма-лучей, принципиально одинаковы, и все они называются электромагнитным излучением. Все они распространяются в вакууме со скоростью света .

Другой характеристикой электромагнитных волн является длина волны . Длина волны обратно пропорциональна частоте, так что электромагнитные волны с более высокой частотой имеет более короткую длину волны, и наоборот. В вакууме длина волны

где с - скорость света в вакууме. В среде, в которой фазовая скорость распространения электромагнитной волны c ′ отличается от скорости света в вакууме (c ′ = c/n , где n - показатель преломления), связь между длиной волны и частотой будет следующей:

Ещё одна часто использующаяся характеристика волны - волновое число (пространственная частота), равное количеству волн, укладывающихся на единицу длины: k = 1/λ . Иногда эта величина используется с коэффициентом 2π , по аналогии с циклической и круговой частотой k s = 2π/λ . В случае электромагнитной волны в среде

Звук

Свойства звука (механических упругих колебаний среды) зависят от частоты. Человек может слышать колебания с частотой от 20 Гц до 20 кГц (с возрастом верхняя граница частоты слышимого звука снижается). Звук с частотой более низкой, чем 20 Гц (соответствует ноте ми